Monat: Januar 2022

Im Lehrmittel „Mathematik I“ für die Sekundarstufe wird im Arbeitsheft 1 auf Seite 141 folgende Tüftelaufgabe gestellt: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Bruch gekürzt werden kann, wenn dessen Zähler und Nenner jeweils aus einer zufälligen Zahl von 2 bis 9 gebildet werden?

Eine solche Aufgabe bietet sich förmlich dazu an, mit einem Computerprogramm gelöst zu werden. Ausserdem wird es dadurch möglich, die Aufgabenstellung zu verallgemeinern.

Ursprüngliche Aufgabe mit Snap! lösen

Ein klassisches Vorgehen zum Lösen dieser Aufgabe könnte so aussehen:

Mathematisch betrachtet kann ein Bruch dann gekürzt werden, wenn die Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler besitzen, der grösser ist als 1. Der Block für die Berechnung des ggTs kann in Snap! aus der Bibliothek „APL Primitives“ importiert werden und heisst dort gcd (engl. greatest common denominator).

Damit kann nun der Block „fraction can be simplified“ entsprechend programmiert werden.

Lässt man das Programm laufen, berechnet es den korrekten Wert von 26/64 oder 40.625%. Allerdings ist die for-Schleife in Snap! nicht besonders effizient. Deshalb soll das gleiche Programm nun mit dem map-Block umgesetzt werden, was nebst einem Geschwindigkeitsgewinn weitere Vorteile mit sich bringt.

Zuerst sollen mit dem map-Block erst einmal nur die Brüche erzeugt werden:

Die Werte des äusseren map-Blockes werden dabei über den Parameter „value“ an den inneren map-Block weitergegeben. Der „value“-Parameter kann über einen Klick auf das kleine Dreieck im map-Block sichtbar gemacht werden.

Speichert man das Ergebnis der Berechnung in einer Variablen ab, kann man dieses sichtbar machen.

Nebst der schnelleren Durchführung der entsprechenden Rechenoperationen erhält man als Bonus noch eine Darstellung, welche im Gegensatz zur Variante mit der for-Schleife besser nachvollziehbar ist.

Wird nun der join-Block durch die Berechnung des ggTs ersetzt, erhält man auch die entsprechenden Werte in Tabellenform.

In der entsprechenden Tabelle werden nun die Werte sichtbar, mit denen die einzelnen Brüche gekürzt werden können.

Nun müssen nur noch die Fälle ausgezählt werden, bei denen der ggT grösser als 1 ist. Der schnellste Weg dazu ist die Verwendung des keep-Blockes, der die Tabelle auf die Zellen mit den gewünschten Werten reduziert. Damit dies funktioniert, muss die Tabelle allerdings zuerst noch in eine Liste umgewandelt werden, wozu aber auch ein entsprechender Befehl zu Verfügung steht.

Um die Anzahl der Einträge in der so erhaltenen Liste zu bestimmen, verwendet man noch den length-Block und kann diesen Wert wie weiter oben gezeigt durch die Anzahl aller Fälle (64) dividieren.

Verallgemeinerung der Problemstellung

Die Verwendung des map-Blockes hat gegenüber der Variante mit der for-Schleife zu einer besser nachvollziehbaren Repräsentation geführt. In der Verallgemeinerung des Problems soll nun auch der Geschwindigkeitsvorteil ausgespielt werden, indem nicht mehr nur ein Fall, sondern mehrere untersucht werden sollen, indem die Frage beantwortet wird, wie wahrscheinlich es eigentlich ist, dass ein beliebiger Bruch gekürzt werden kann. Dazu wird der zuletzt abgebildete Block in einen Funktionsblock verpackt.

Diesen Block setzen wir nun so ein, dass Bruchtabellen mit den Dimensionen 1×1 bis 100×100 berechnet werden und für jede Tabelle die Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, dass ein beliebiger Bruch in dieser Tabelle gekürzt werden kann.

Die Berechnung von 100 Werten nimmt etwas Zeit in Ansprung, ist aber viel schneller, als wenn das Problem mit der Technik der for-Schleifen gelöst wird.

Da eine Liste mit 100 Werten recht unübersichtlich ist, sollen diese nun noch grafisch ausgegeben werden, dazu eignet sich der plot-Block aus der „Frequency Distribution Analysis“-Bibliothek, der Werte als Balken- oder Liniengrafik darstellen kann.

Falls die Grafik etwas professioneller gestaltet werden soll, dann muss etwas mehr Aufwand betrieben werden.

Wie schon in der einfachen Version der Grafik sind die Schwankungen der Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit der einzelnen Bruchmengen deutlich erkennbar. Sie kommen dadurch zustande, dass neu hinzugekommene Werte nicht immer gleich viele Teiler haben. Kommt eine Primzahl neu dazu, sinkt die Wahrscheinlichkeit, besitzt die dazugekommene Zahl viele Teiler, steigt die Wahrscheinlichkeit. Es ist aber auch zu erkennen, dass die Werte bei grösseren Bruchmengen immer weniger schwanken. Eine Tatsache die auch bei anderen Zufallsexperimenten als „Gesetz der grossen Zahlen“ bezeichnet wird, wodurch sich der Kreis zum eigentlichen Thema der Wahrscheinlichkeit wieder schliesst.

Anwendung im Unterricht

Das vorgestellte Beispiel zeigt: Verzichtet man beim Lösen von Problemstellungen, wie sie hier vorgestellt wurde, auf die wiederholte Anwendung des Einsatzes von Bleistift und Papier und verwendet stattdessen den Computer, können Problemstellungen zwar nicht unbedingt schneller gelöst werden, denn die Entwicklung der entsprechenden Programmierung benötigt Zeit, aber die dadurch möglich werdende Flexibilisierung und Verallgemeinerung einer Aufgabenstellung erlaubt neue Ansichten und die Erweiterung einer geschlossenen Aufgabe zu einer weiter offenen, welche das Üben und die Anwendung wesentlicher Kompetenzen ermöglicht.

An der Online-Weiterbildung „Schule trotz(t) Omikron“ wurde der aktuelle Entwicklungsstand des Editors für Online-Lernmaterialien von Zebis vorgestellt. Eine Aufzeichnung des Inputs von Adrian Albisser ist hier verfügbar: Video auf YouTube. Deshalb soll nun an dieser Stelle kurz erklärt werden, was der Editor leistet, worauf man beim Erstellen von Materialien achten sollte und wie diese Materialien anschliessend von Schülerinnen und Schüler genutzt werden können.

Aufgabentypen im Editor

Der Editor verfügt aktuell über folgende Aufgabentypen:

• Text
  Damit kann ein einfacher Textblock hinzugefügt werden. Als Textauszeichnungen sind Kursiv- und Fettschrift möglich. Ausserdem darf der Text Links auf weitere Webseiten, sowie Listen enthalten. Eine weitere Gestaltung des Textes ist aktuell nicht möglich.
• Titel
  Damit können einzelne Abschnitte eines Kapitels betitelt werden.
• Bild
  Eingefügte Bilder können mit einer Bildunterschrift versehen und Metadaten erweitert werden. Die Metadaten sind bei der Veröffentlichung von Materialien wichtig.
• Externer Inhalt
  Externe Inhalte können über einen Link oder ein Iframe eingebunden werden.
• Fragetypen
  Aktuell stehen die Fragetypen MultipleChoice, SingleChoice und Freitext zu Verfügung.
• H5P
  H5P-Lernobjekte können nicht nur eingebunden, sondern auch direkt im Zebis-Editor erstellt werden.
• Abschnitt
  Damit kann eine Lerneinheit zusätzlich gegliedert werden, was das Verschieben von zusammengehörenden Elementen innerhalb eines Kapitels erleichtert.

Der Zebis-Editor verfügt also über einfache Gestaltungsmöglichkeiten zum Erstellen von multimedialen und interaktiven Lerneinheiten. Aktuell fehlen aber noch die Möglichkeiten, eigene Dateien in die Umgebung hochzuladen. Zumindest bei Audiodateien kann dieses Problem umgangen werden, indem diese in ein H5P-Lernobjekt eingebunden werden.

Bedienung des Editors

Die Bedienung des Editors ist weitgehend selbsterklärend, zumindest für alle, welche schon einmal mit einem ähnlichen Werkzeug gearbeitet haben. Nur die Einbindung von H5P-Elementen kann zu Schwierigkeiten führen, da dazu folgende Schritte notwendig sind:

Zuerst wählt man den Typ der H5P-Aktivität aus.

Dann erstellt man die Aktivität und speichert diese.

Schliesslich muss noch eine zusätzliche Schaltfläche angeklickt werden, damit das H5P-Lernobjekt tatsächlich in das Lernarrangement des Editors eingebaut wird.

Bis auf den letzten Schritt mit der ungünstig platzierten Schaltfläche, dürfte so das Einbinden von H5P-Elementen kaum Schwierigkeiten bereiten.

Da die H5P-Aktivitäten im einem seitlich aufklappenden Teilfenster bearbeitet werden müssen, besteht allerdings die Gefahr, dass dafür bei komplexeren Typen wie dem interaktiven Buch zu wenig Platz übrigbleibt. Es wäre deshalb wünschenswert, wenn dieses Fenster in der Breite angepasst werden könnte.

Erweiterungswünsche

Beim aktuellen Entwicklungsstand wären folgende Erweiterungen wünschenswert:

1. Die schon erwähnte Anpassung der Fensterbreite bei H5P-Inhalten.
2. Das Einbinden von weiteren Dateitypen, z.B. Worddateien, PDFs und insbesondere auch Audiodateien.
3. Eine automatische zufällige Anordnung der Antwortoptionen in den Fragetypen MultipleChoice und SingleChoice.

Die Punkte 2 und 3 können zumindest teilweise durch den Einsatz von H5P-Elementen bereits jetzt erfüllt werden, weshalb Punkt 1 am höchsten priorisiert werden sollte.

Konkrete Umsetzung einer Lerneinheit

Um die Funktionalität des Zebis-Editors zu testen, wurde eine kleine Lerneinheit zum Thema „Rechnen mit ganzen Zahlen“ entworfen, wobei bei den zentralen Elementen auf H5P- und GeoGebra-Aktivitäten gesetzt wurde.

Die Lerneinheit kann hier aufgerufen werden: Lerneinheit „Rechnen mit ganzen Zahlen“.

Bei der Umsetzung zeigt sich schnell, verzichtet man auf auf H5P-Aktivitäten und das Einbinden externer Inhalte wie beispielsweise GeoGebra, dann sind nur sehr einfache Lerneinheiten möglich, die den Schülerinnen und Schülern wenig Möglichkeit zur Interaktion bieten. Das ist insofern ein Problem, als es wenig erfahrenen Lehrpersonen schwerfallen dürfte, von sich auf entsprechende H5P-Lernobjekte zu erstellen, geschweige dann entsprechende GeoGebra-Aktivitäten zu programmieren.

Allerdings ist das Einbinden bereits vorhandener GeoGebra-Aktivitäten sehr einfach gelöst. Dazu muss nur der entsprechende Link in die Editor-Aktivität „Externer Inhalt“ kopiert werden. Genau gleich funktioniert auch das Einbinden von LearningApps-Objekten (https://learningapps.org/) und YouTube-Videos.

Fazit

Der Zebis-Editor bietet Lehrpersonen, welche über keine andere Veröffentlichungsmöglichkeit verfügen, einen einfachen Einstieg in das Erstellen von digitalen Lernarrangements. Diese können dann von anderen Lehrpersonen weiter bearbeitet oder in der vorhandenen Form im eigenen Unterricht eingesetzt werden.

Im Vergleich zu ähnlichen Plattformen bietet der Editor jedoch nur einen einfachen Rahmen, in welchen dann weitere Elemente eingebunden werden müssen, wobei die direkte H5P-Integration sicherlich ein Highlight darstellt, auch wenn aktuell nur ganz wenige H5P-Elemente zentral auf dem Zebis-Server abgelegt sind.

Damit sich dies ändert, müssten nicht nur im Schuldienst stehende Lehrpersonen aktiv werden, sondern insbesondere die Pädagogischen Hochschulen den OER-Gedanken, welcher zentral für den Zebis-Editor ist, an die zukünftigen Lehrpersonen herantragen. Dann könnte auch unabhängig vom im Vergleich zu anderen Plattformen rudimentären Editor eine Sammlung von H5P-Lernobjekten entstehen, die dann auch in anderen mit mehr Möglichkeiten ausgestatteten Lernumgebungen verwendet werden könnten.

Die Datenbank von Moodle ist ein äusserst flexibles Werkzeug. So kann man damit beispielsweise Schülerinnen und Schüler darüber abstimmen lassen, was für ein Bild ihnen am besten gefällt.

Erstellen der Datenbank

Zuerst legt man eine neue Datenbank an und definiert dort ein Feld vom Typ Einfachauswahl, in welchem alle Abstimmungsoptionen hinterlegt werden. Über einen neuen Eintrag kann dann die entsprechende Option ausgewählt werden:

Sobald die ersten Resultate vorliegen, werden diese über die Listenansicht mit Hilfe von etwas JavaScript aufsummiert. Dazu muss die Listenansicht über die entsprechende Vorlage programmiert werden.

In die Kopfzeile schreibt man:

<p id="counts"></p>
<script>
names = [

In den wiederholten Eintrag schreibt man:

"[[Auswahl]]",

Damit wird eine Liste mit allen Antworten der Schülerinnen und Schüler gebildet.

Und schliesslich erfolgt die eigentliche Programmierung in der Fusszeile:

]
var counts = names.reduce((counts, name) => {
counts[name] = (counts[name] || 0) + 1;
return counts;
}, {});

var uniques = Object.keys(counts);
uniques.sort((a, b) => counts[a] == counts[b] ? a.localeCompare(b) : counts[b] - counts[a]);

for(i=0;i<uniques.length;i++)
{
document.write("<p>",Object.keys(counts)[i],": ","👍".repeat(Object.values(counts)[i]),"(",Object.values(counts)[i],")</p>");
}

</script>

Dabei wird die Liste mit allen Einträgen zuerst reduziert und dann die Anzahl der jeweils gleichen Einträge ermittelt. Schliesslich werden die entsprechenden Werte ausgegeben, wobei dies grafisch auch noch anspruchsvoller erfolgen könnte.

Weitere Hinweise

Die Anzahl der Stimmen, welche eine Schülerin oder ein Schüler hat, kann man beschränken, indem man die Anzahl der maximal möglichen Einträge für eine Person in den Einstellungen über „Einträge“ > „maximal mögliche Einträge“ festlegt.

Die Bilder kann man, sofern diese gleich gross sind, in einem entsprechenden Raster anordnen, indem man sie in mehreren Spalten anordnet. Dazu verwendet man folgenden HTML-Code:

<div style="columns:5">

... hier die Bilder einsetzen ...

</div}

Wenn  man möchte, kann man die Suche für die Datenbank wie folgt ausblenden:

<script>
window.onload=document.querySelector("div.datapreferences").style.display = "none";
</script>

Damit bei den Schülerinnen und Schülern trotzdem alle Einträge auf einer Seite angezeigt und damit die Auswertung korrekt erfolgt, sollte man den entsprechenden Link in diesem Fall um folgenden Parameter ergänzen:

.../moodle/mod/data...&perpage=1000

Eine Vorlage für die Datenbank kann hier heruntergeladen werden: Datenbank Bilderwahl.

 

Zufallsexperimente mit Würfeln gehören zum Unterrichtsstoff der Sekundarstufe I. Im Zürcher Lehrmittel „Mathematik 1“ werden die Untersuchungen aber auf 2 Würfel beschränkt und auch der Lehrplan bleibt eher vage, wenn er von mehrstufigen Zufallsexperimenten mit Würfeln, Münzen und Zahlen spricht. An dieser Stelle soll deshalb gezeigt werden, wie die Thematik auch auf der Sekundarstufe I ausgebaut und damit ein erweiterter Blick in die Welt der Mathematik ermöglicht werden kann.

Würfeln mit einem Würfel

Den meisten Schülerinnen und Schülern ist klar, dass beim Würfeln mit 1 Würfel die Augensummen 1 bis 6 jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

Würfeln mit zwei Würfeln

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer gewissen Augensumme beim Würfeln kann ohne grossen Aufwand erarbeitet werden, indem man alle Möglichkeiten in einer zweidimensionalen Tabelle aufnotiert.

In diesem Zusammenhang kann nicht nur die Schreibweise für Wahrscheinlichkeiten eingeführt werden, sondern die Schülerinnen und Schüler können sich auch Gedanken darüber machen, welche Kombinationen von Augensummen für ein faires Spiel verwendet werden dürfen.

Würfeln mit drei Würfeln

Nach der linearen (1D) Darstellung der Augensummen bei einem Würfel und der Darstellung in der Fläche (2D) für zwei Würfel ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Augensummen beim Würfeln mit drei Würfeln erst einmal eine Herausforderung, weil die Darstellung in einem Würfel (3D) zwar naheliegt, deren Umsetzung aber zumindest auf Papier auf Schwierigkeiten stösst. Es lohnt sich deshalb, mit den Schülern darüber zu diskutieren, wie die einzelnen Ebenen des Würfels auf Papier auseinandergenommen werden können. Dies führt dann zu einer systematischen Notation in einer Tabelle, welche grundsätzlich für eine beliebige Anzahl von Würfeln funktioniert.

Alle 216 Möglichkeiten systematisch zu notieren, führt zum Ziel ist aber ziemlich aufwändig, weshalb sich beim Auszählen ein arbeitsteiliges Verfahren bewährt hat. Ausserdem ist für die meisten Schülerinnen und Schüler einsichtig, dass auch hier wieder eine Symmetrie der Wahrscheinlichkeiten der Augensummen auftritt. Einige Schülerinnen und Schüler versuchen den Arbeitsaufwand weiter zu reduzieren, indem sie theoretische Überlegungen über das Verhalten der verschiedenen Augensummen anstellen. In einem solchen Fall ist es hilfreich, wenn man sie darauf aufmerksam macht, dass insgesamt ja 216 unterschiedliche Fälle auftreten können, die sich dann in den verschiedenen Augensummen bündeln.

Würfeln mit vier Würfeln

Nach der Arbeit mit 3 Würfeln führt die Erwähnung einer Untersuchung für 4 Würfel meist zu wenig Begeisterung, denn die Schülerinnen und Schüler wissen zwar, dass die Aufgabe lösbar ist, aber gegenüber der eben geleisteten Arbeit einen sechsfach höheren Aufwand erfordert. Deshalb ist es an dieser Stelle sinnvoll, bei der Lösungssuche einen Strategiewechsel vorzunehmen und allenfalls vom Papier zum Computer in eine Tabellenkalkulation zu wechseln.

Um von dem Würfeln mit einem Würfel auf die Ergebnisse bei zwei Würfeln zu kommen, wurden in der Tabellenkalkulation einfach die schon vorhandenen Häufigkeiten verschoben notiert und anschliessend aufsummiert. Dadurch ergeben sich tatsächlich die Häufigkeiten für das Würfeln mit zwei Würfeln.

Ein genauerer Blick zeigt, wie die Resultate zustande kommen. Bei zwei Würfeln gibt es genau 1 Möglichkeit, die Augensumme 2 zu erzielen, nämlich dann, wenn der erste Würfel eine 1 zeigt und der zweite Würfel ebenfalls. Die Augensumme 3 hingegen kann auf 2 Arten erzielt werden: 1+2 und 2+1.

Genau die gleichen Überlegungen können beim Schritt von zwei zu drei Würfeln angestellt werden, wenn beispielsweise die Augensumme 5 gesucht wird, dann kann diese aus folgenden Kombinationen entstehen:

• (1, 1)+3, (1, 2)+2, (1, 3)+1 (drei Möglichkeiten),
• sowie (2, 1)+2 und (2, 2)+1 (2 Möglichkeiten)
• und schliesslich (3, 1)+1 (1 Möglichkeit).

Dieses Vorgehen kann analog für alle Augensummen durchgeführt werden und gilt für eine beliebige Anzahl von Würfeln. Die neuen Augensummen können immer durch das „verschobene“ Addieren der alten Häufigkeiten gewonnen werden.

Die Exceltabelle kann hier heruntergeladen werden: Tabelle_Augensummen.

Würfeln mit vielen Würfeln

Wie schon beim Schritt von drei auf vier Würfeln kann die beschriebene Methode für eine beliebige Anzahl von Würfeln verwendet werden. Allerdings steigt auch dabei der Arbeitsaufwand immer weiter an, wenn auch nicht so schnell wie beim Aufnotieren aller Fälle.

Deshalb ist es nun sinnvoll, einen Computer entsprechend zu programmieren. Traditionell würde dies mit einer mehrfach verschachtelten for-Schleife geschehen, deren genaue Funktionsweise aber nicht nur für Schülerinnen und Schüler schwer nachvollziehbar ist.

 

In Snap! gibt es mit den entsprechenden Listenfunktionen eine elegantere Lösung. In der Tabellenkalkulation wurden ja einfach „verschobene“ Häufigkeitswerte jeweils sechsmal addiert. Genau dies ist auch in Snap! möglich, wobei es keine Rolle spielt, wie lange die konkrete Liste ist.

Zuerst wird die Liste „augensumme“ mit den Häufigkeitswerten für einen Würfel gesetzt. Dann wird die Anzahl der Würfel eingegeben und anschliessend berechnet das Programm durch wiederholtes Ausführen der „verschobenen“ Addition der bisherigen Werte die Häufigkeitswerte für den nächsten Würfel.

Wird der Block „set augensumme“ aus der Schleife herausgenommen, können die Schülerinnen und Schüler diesen wiederholt aufrufen und die dadurch neu entstehenden Listenwerte im Detail untersuchen. Augensummen beim Würfeln mit vielen Würfeln können anschliessend auch noch grafisch ausgegeben werden, was eine nächste Ebene der Betrachtung des Problems ermöglicht.

Das komplette Programm kann hier aufgerufen werden: Augensummen.

Weshalb der ganze Aufwand?

Dem Mathematikunterricht auf der Sekundarstufe I wird gerne vorgeworfen, er beschränke sich fast ausschliesslich auf die Vermittlung von Rechenverfahren, welche die Schülerinnen und Schüler dann möglicherweise beherrschten, aber nicht in einen grösseren Zusammenhang einordnen könnten.

Das vorgestellte Beispiel zeigt, dass es durchaus möglich ist, innerhalb eines vertretbaren Zeitrahmens (ca. 3 Lektionen) nicht nur den Bogen von einem sehr speziellen Problem zu einer allgemeineren Problemlösung zu schlagen, sondern durch unterschiedliche Repräsentationen auch gezielt mathematische Vorgehensweisen anzuwenden, die über das reine Hantieren mit Zahlen hinausgehen. Ausserdem wird dabei auch die Grundlage zur Erarbeitung weiterer mathematischer Konzepte gelegt. Dabei ist der Einsatz von Computern nicht zwingend notwendig, erleichtert aber durch die Automatisierung der zugrundeliegenden Rechenoperationen eine Konzentration auf die wesentlichen Aspekte der Problemstellung.