{"id":781,"date":"2022-01-31T11:55:40","date_gmt":"2022-01-31T11:55:40","guid":{"rendered":"https:\/\/gigers.com\/blog\/?p=781"},"modified":"2024-06-24T17:33:33","modified_gmt":"2024-06-24T17:33:33","slug":"wahrscheinlichkeit-fuer-einen-kuerzbaren-bruch","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gigers.com\/blog\/wahrscheinlichkeit-fuer-einen-kuerzbaren-bruch\/","title":{"rendered":"Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen k\u00fcrzbaren Bruch"},"content":{"rendered":"

Im Lehrmittel „Mathematik I“ f\u00fcr die Sekundarstufe wird im Arbeitsheft 1 auf Seite 141 folgende T\u00fcftelaufgabe gestellt: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Bruch gek\u00fcrzt werden kann, wenn dessen Z\u00e4hler und Nenner jeweils aus einer zuf\u00e4lligen Zahl von 2 bis 9 gebildet werden?<\/p>\n

Eine solche Aufgabe bietet sich f\u00f6rmlich dazu an, mit einem Computerprogramm gel\u00f6st zu werden. Ausserdem wird es dadurch m\u00f6glich, die Aufgabenstellung zu verallgemeinern.<\/p>\n

Urspr\u00fcngliche Aufgabe mit Snap! l\u00f6sen<\/h2>\n

Ein klassisches Vorgehen zum L\u00f6sen dieser Aufgabe k\u00f6nnte so aussehen:<\/p>\n

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Alle m\u00f6glichen Br\u00fcche werden mit einer verschachtelten for-Schleife erzeugt und dann darauf gepr\u00fcft, ob sie gek\u00fcrzt werden k\u00f6nnen.<\/figcaption><\/figure>\n

Mathematisch betrachtet kann ein Bruch dann gek\u00fcrzt werden, wenn die Z\u00e4hler und Nenner einen gemeinsamen Teiler besitzen, der gr\u00f6sser ist als 1. Der Block f\u00fcr die Berechnung des ggTs kann in Snap! aus der Bibliothek „APL Primitives“ importiert werden und heisst dort gcd (engl. greatest common denominator).<\/p>\n

Damit kann nun der Block „fraction can be simplified“ entsprechend programmiert werden.<\/p>\n

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Wenn der ggT gr\u00f6sser als 1 ist, dann kann der entsprechende Bruch gek\u00fcrzt werden.<\/figcaption><\/figure>\n

L\u00e4sst man das Programm laufen, berechnet es den korrekten Wert von 26\/64 oder 40.625%. Allerdings ist die for-Schleife in Snap! nicht besonders effizient. Deshalb soll das gleiche Programm nun mit dem map-Block umgesetzt werden, was nebst einem Geschwindigkeitsgewinn weitere Vorteile mit sich bringt.<\/p>\n

Zuerst sollen mit dem map-Block erst einmal nur die Br\u00fcche erzeugt werden:<\/p>\n

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Die einzelnen Br\u00fcche werden mit einem verschachtelten map-Block erzeugt.<\/figcaption><\/figure>\n

Die Werte des \u00e4usseren map-Blockes werden dabei \u00fcber den Parameter „value“ an den inneren map-Block weitergegeben. Der „value“-Parameter kann \u00fcber einen Klick auf das kleine Dreieck im map-Block sichtbar gemacht werden.<\/p>\n

Speichert man das Ergebnis der Berechnung in einer Variablen ab, kann man dieses sichtbar machen.<\/p>\n

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Der map-Block bildet eine Tabelle mit allen gew\u00fcnschten Br\u00fcchen.<\/figcaption><\/figure>\n

Nebst der schnelleren Durchf\u00fchrung der entsprechenden Rechenoperationen erh\u00e4lt man als Bonus noch eine Darstellung, welche im Gegensatz zur Variante mit der for-Schleife besser nachvollziehbar ist.<\/p>\n

Wird nun der join-Block durch die Berechnung des ggTs ersetzt, erh\u00e4lt man auch die entsprechenden Werte in Tabellenform.<\/p>\n

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F\u00fcr jeden Bruch wird in einer Tabelle festgehalten, mit welchem gr\u00f6ssten Wert dieser gek\u00fcrzt werden kann.<\/figcaption><\/figure>\n

In der entsprechenden Tabelle werden nun die Werte sichtbar, mit denen die einzelnen Br\u00fcche gek\u00fcrzt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n

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Die Tabelle gibt f\u00fcr jeden Bruch an, mit welchem Wert dieser gek\u00fcrzt werden kann.<\/figcaption><\/figure>\n

Nun m\u00fcssen nur noch die F\u00e4lle ausgez\u00e4hlt werden, bei denen der ggT gr\u00f6sser als 1 ist. Der schnellste Weg dazu ist die Verwendung des keep-Blockes, der die Tabelle auf die Zellen mit den gew\u00fcnschten Werten reduziert. Damit dies funktioniert, muss die Tabelle allerdings zuerst noch in eine Liste umgewandelt werden, wozu aber auch ein entsprechender Befehl zu Verf\u00fcgung steht.<\/p>\n

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Der keep-Block beh\u00e4lt nur diejenigen Eintr\u00e4ge, welche einem definierten Kriterium entsprechen. Denn flatten-Block findet man, indem man den Parameter f\u00fcr den length-Block anpasst.<\/figcaption><\/figure>\n

Um die Anzahl der Eintr\u00e4ge in der so erhaltenen Liste zu bestimmen, verwendet man noch den length-Block und kann diesen Wert wie weiter oben gezeigt durch die Anzahl aller F\u00e4lle (64) dividieren.<\/p>\n

Verallgemeinerung der Problemstellung<\/h2>\n

Die Verwendung des map-Blockes hat gegen\u00fcber der Variante mit der for-Schleife zu einer besser nachvollziehbaren Repr\u00e4sentation gef\u00fchrt. In der Verallgemeinerung des Problems soll nun auch der Geschwindigkeitsvorteil ausgespielt werden, indem nicht mehr nur ein Fall, sondern mehrere untersucht werden sollen, indem die Frage beantwortet wird, wie wahrscheinlich es eigentlich ist, dass ein beliebiger Bruch gek\u00fcrzt werden kann. Dazu wird der zuletzt abgebildete Block in einen Funktionsblock verpackt.<\/p>\n

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Der Block verwendet einfachheitshalber eine quadratische Tabelle. Da diese gespiegelte Werte enth\u00e4lt, w\u00e4re eine weitere Optimierung m\u00f6glich. Dadurch w\u00fcrde aber die \u00dcbersichtlichkeit leiden.<\/figcaption><\/figure>\n

Diesen Block setzen wir nun so ein, dass Bruchtabellen mit den Dimensionen 1×1 bis 100×100 berechnet werden und f\u00fcr jede Tabelle die Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, dass ein beliebiger Bruch in dieser Tabelle gek\u00fcrzt werden kann.<\/p>\n

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Das Programm berechnet die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass ein Bruch in unterschiedlich grossen Mengen von Br\u00fcchen gek\u00fcrzt werden kann.<\/figcaption><\/figure>\n

Die Berechnung von 100 Werten nimmt etwas Zeit in Ansprung, ist aber viel schneller, als wenn das Problem mit der Technik der for-Schleifen gel\u00f6st wird.<\/p>\n

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Die Abbildung zeigt die ersten 10 Werte in der berechneten Liste.<\/figcaption><\/figure>\n

Da eine Liste mit 100 Werten recht un\u00fcbersichtlich ist, sollen diese nun noch grafisch ausgegeben werden, dazu eignet sich der plot-Block aus der „Frequency Distribution Analysis“-Bibliothek, der Werte als Balken- oder Liniengrafik darstellen kann.<\/p>\n

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Mit wenigen Zeilen kann eine Liste von Daten in Snap! visualisiert werden.<\/figcaption><\/figure>\n
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Der plot-Block bietet eine einfache Visualisierung der berechneten Daten.<\/figcaption><\/figure>\n

Falls die Grafik etwas professioneller gestaltet werden soll, dann muss etwas mehr Aufwand betrieben werden.<\/p>\n

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Die grafische Ausgabe von Werten kann schnell aufw\u00e4ndig werden.<\/figcaption><\/figure>\n
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Die erweiterte Grafik erlaubt es, die Gr\u00f6sse einzelner Werte einzusch\u00e4tzen. Ob sich der Aufwand bei der konkreten Aufgabenstellung lohnt, sei dahingestellt.<\/figcaption><\/figure>\n

Wie schon in der einfachen Version der Grafik sind die Schwankungen der Wahrscheinlichkeiten in Abh\u00e4ngigkeit der einzelnen Bruchmengen deutlich erkennbar. Sie kommen dadurch zustande, dass neu hinzugekommene Werte nicht immer gleich viele Teiler haben. Kommt eine Primzahl neu dazu, sinkt die Wahrscheinlichkeit, besitzt die dazugekommene Zahl viele Teiler, steigt die Wahrscheinlichkeit. Es ist aber auch zu erkennen, dass die Werte bei gr\u00f6sseren Bruchmengen immer weniger schwanken. Eine Tatsache die auch bei anderen Zufallsexperimenten als „Gesetz der grossen Zahlen“ bezeichnet wird, wodurch sich der Kreis zum eigentlichen Thema der Wahrscheinlichkeit wieder schliesst.<\/p>\n

Anwendung im Unterricht<\/h2>\n

Das vorgestellte Beispiel zeigt: Verzichtet man beim L\u00f6sen von Problemstellungen, wie sie hier vorgestellt wurde, auf die wiederholte Anwendung des Einsatzes von Bleistift und Papier und verwendet stattdessen den Computer, k\u00f6nnen Problemstellungen zwar nicht unbedingt schneller gel\u00f6st werden, denn die Entwicklung der entsprechenden Programmierung ben\u00f6tigt Zeit, aber die dadurch m\u00f6glich werdende Flexibilisierung und Verallgemeinerung einer Aufgabenstellung erlaubt neue Ansichten und die Erweiterung einer geschlossenen Aufgabe zu einer weiter offenen, welche das \u00dcben und die Anwendung wesentlicher Kompetenzen erm\u00f6glicht.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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