{"id":739,"date":"2022-01-09T11:54:55","date_gmt":"2022-01-09T11:54:55","guid":{"rendered":"https:\/\/gigers.com\/blog\/?p=739"},"modified":"2024-06-24T17:33:33","modified_gmt":"2024-06-24T17:33:33","slug":"augensummen-beim-wuerfeln","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gigers.com\/blog\/augensummen-beim-wuerfeln\/","title":{"rendered":"Augensummen beim W\u00fcrfeln"},"content":{"rendered":"

Zufallsexperimente mit W\u00fcrfeln geh\u00f6ren zum Unterrichtsstoff der Sekundarstufe I. Im Z\u00fcrcher Lehrmittel „Mathematik 1“ werden die Untersuchungen aber auf 2 W\u00fcrfel beschr\u00e4nkt und auch der Lehrplan bleibt eher vage, wenn er von mehrstufigen Zufallsexperimenten mit W\u00fcrfeln, M\u00fcnzen und Zahlen spricht. An dieser Stelle soll deshalb gezeigt werden, wie die Thematik auch auf der Sekundarstufe I ausgebaut und damit ein erweiterter Blick in die Welt der Mathematik erm\u00f6glicht werden kann.<\/p>\n

W\u00fcrfeln mit einem W\u00fcrfel<\/h2>\n

Den meisten Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern ist klar, dass beim W\u00fcrfeln mit 1 W\u00fcrfel die Augensummen 1 bis 6 jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.<\/p>\n

W\u00fcrfeln mit zwei W\u00fcrfeln<\/h2>\n

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer gewissen Augensumme beim W\u00fcrfeln kann ohne grossen Aufwand erarbeitet werden, indem man alle M\u00f6glichkeiten in einer zweidimensionalen Tabelle aufnotiert.<\/p>\n

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Die Symmetrie der Wahrscheinlichkeit der Augensummen kann durch Einf\u00e4rbung noch verdeutlicht werden.<\/figcaption><\/figure>\n

In diesem Zusammenhang kann nicht nur die Schreibweise f\u00fcr Wahrscheinlichkeiten eingef\u00fchrt werden, sondern die Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler k\u00f6nnen sich auch Gedanken dar\u00fcber machen, welche Kombinationen von Augensummen f\u00fcr ein faires Spiel verwendet werden d\u00fcrfen.<\/p>\n

W\u00fcrfeln mit drei W\u00fcrfeln<\/h2>\n

Nach der linearen (1D) Darstellung der Augensummen bei einem W\u00fcrfel und der Darstellung in der Fl\u00e4che (2D) f\u00fcr zwei W\u00fcrfel ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr die Augensummen beim W\u00fcrfeln mit drei W\u00fcrfeln erst einmal eine Herausforderung, weil die Darstellung in einem W\u00fcrfel (3D) zwar naheliegt, deren Umsetzung aber zumindest auf Papier auf Schwierigkeiten st\u00f6sst. Es lohnt sich deshalb, mit den Sch\u00fclern dar\u00fcber zu diskutieren, wie die einzelnen Ebenen des W\u00fcrfels auf Papier auseinandergenommen werden k\u00f6nnen. Dies f\u00fchrt dann zu einer systematischen Notation in einer Tabelle, welche grunds\u00e4tzlich f\u00fcr eine beliebige Anzahl von W\u00fcrfeln funktioniert.<\/p>\n

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Eine systematische Notation aller F\u00e4lle erlaubt das anschliessende Ausz\u00e4hlen der H\u00e4ufigkeit der verschiedenen Augensummen.<\/figcaption><\/figure>\n

Alle 216 M\u00f6glichkeiten systematisch zu notieren, f\u00fchrt zum Ziel ist aber ziemlich aufw\u00e4ndig, weshalb sich beim Ausz\u00e4hlen ein arbeitsteiliges Verfahren bew\u00e4hrt hat. Ausserdem ist f\u00fcr die meisten Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler einsichtig, dass auch hier wieder eine Symmetrie der Wahrscheinlichkeiten der Augensummen auftritt. Einige Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler versuchen den Arbeitsaufwand weiter zu reduzieren, indem sie theoretische \u00dcberlegungen \u00fcber das Verhalten der verschiedenen Augensummen anstellen. In einem solchen Fall ist es hilfreich, wenn man sie darauf aufmerksam macht, dass insgesamt ja 216 unterschiedliche F\u00e4lle auftreten k\u00f6nnen, die sich dann in den verschiedenen Augensummen b\u00fcndeln.<\/p>\n

W\u00fcrfeln mit vier W\u00fcrfeln<\/h2>\n

Nach der Arbeit mit 3 W\u00fcrfeln f\u00fchrt die Erw\u00e4hnung einer Untersuchung f\u00fcr 4 W\u00fcrfel meist zu wenig Begeisterung, denn die Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler wissen zwar, dass die Aufgabe l\u00f6sbar ist, aber gegen\u00fcber der eben geleisteten Arbeit einen sechsfach h\u00f6heren Aufwand erfordert. Deshalb ist es an dieser Stelle sinnvoll, bei der L\u00f6sungssuche einen Strategiewechsel vorzunehmen und allenfalls vom Papier zum Computer in eine Tabellenkalkulation zu wechseln.<\/p>\n

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Mithilfe der Tabellenkalkulation k\u00f6nnen die H\u00e4ufigkeitswerte schnell aufaddiert werden.<\/figcaption><\/figure>\n

Um von dem W\u00fcrfeln mit einem W\u00fcrfel auf die Ergebnisse bei zwei W\u00fcrfeln zu kommen, wurden in der Tabellenkalkulation einfach die schon vorhandenen H\u00e4ufigkeiten verschoben notiert und anschliessend aufsummiert. Dadurch ergeben sich tats\u00e4chlich die H\u00e4ufigkeiten f\u00fcr das W\u00fcrfeln mit zwei W\u00fcrfeln.<\/p>\n

Ein genauerer Blick zeigt, wie die Resultate zustande kommen. Bei zwei W\u00fcrfeln gibt es genau 1 M\u00f6glichkeit, die Augensumme 2 zu erzielen, n\u00e4mlich dann, wenn der erste W\u00fcrfel eine 1 zeigt und der zweite W\u00fcrfel ebenfalls. Die Augensumme 3 hingegen kann auf 2 Arten erzielt werden: 1+2 und 2+1.<\/p>\n

Genau die gleichen \u00dcberlegungen k\u00f6nnen beim Schritt von zwei zu drei W\u00fcrfeln angestellt werden, wenn beispielsweise die Augensumme 5 gesucht wird, dann kann diese aus folgenden Kombinationen entstehen:<\/p>\n