Vorstellung von Br\u00fcchen<\/strong><\/p>\n Traditionell wird die Vorstellung von Br\u00fcchen gerne anhand von Fl\u00e4chen (z.B. in der Form von Tortenst\u00fccken) vermittelt. Diese Vorgehensweise hat sich bew\u00e4hrt, sollte aber durch die Vorstellung des Bruchs als Zahl und als Verh\u00e4ltnis erg\u00e4nzt werden, da sonst die Lernenden eine einseitige Vorstellung davon entwickeln k\u00f6nnen, was ein Bruch ist.<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/TYfyJDqD<\/a><\/p>\n Bei der Visualisierung von Br\u00fcchen als Torten sollte unbedingt gezeigt werden, dass der Bruch nicht von der Gr\u00f6sse der Torte abh\u00e4ngig ist. Im vorliegenden Applet kann dazu der Radius der Torte angepasst werden. Vielmehr muss immer wieder betont werden, dass ein Bruch das Verh\u00e4ltnis von zwei Zahlen (Z\u00e4hler und Nenner) abbildet.<\/p>\n Aus diesem Grund ist eine Kombination der Visualisierungen „Bruchtorte“ und Zahlenstrahl hilfreich:<\/p>\n Applet: https:\/\/www.geogebra.org\/m\/Ecyc8FVX<\/a><\/p>\n Da bei diesem Applet einzelne Darstellungsformen (Bruch als Torte, Position auf dem Zahlenstrahl, Bruch, Dezimalzahl oder Prozentzahl) ausgeblendet werden k\u00f6nnen, eignet es sich gut daf\u00fcr, die Lernenden Vermutungen zu den einzelnen Darstellungsformen \u00e4ussern zu lassen und diese dann im gemeinsamen Gespr\u00e4ch zu konkretisieren. Bei entsprechenden Vorwissen der Lehrperson \u00fcber typische Fehlvorstellungen von Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern, k\u00f6nnen solche bewusst thematisiert werden. Allerdings ist dabei zu bedenken, dass eine einmalige Thematisierung meist nicht ausreicht, fehlende Vorstellungen oder Fehlvorstellungen nachhaltig zu entwickeln, respektive zu korrigieren.<\/p>\n Haben die Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler einmal eine Vorstellung von der Gr\u00f6sse einzelner Br\u00fcche entwickelt, kann ihre Erfahrung durch das Vergleichen von Br\u00fcchen auf dem Zahlenstrahl gezielt erweitert werden, ohne dass bereits auf die formellen Methoden K\u00fcrzen und Erweitern zur\u00fcckgegriffen werden muss.<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/kDKUKZk7<\/a><\/p>\n Auch hier ist es wieder m\u00f6glich, einzelne Elemente auszublenden. Als hilfreich erweist sich bei der Diskussion mit den Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern vor allem die M\u00f6glichkeit, den Zahlenstrahl (hier von 0 bis 1) entsprechend zu unterteilen.<\/p>\n Je nach Aufgabenstellung f\u00e4llt die Positionierung und die Unterscheidung der beiden Br\u00fcche mehr oder weniger leicht. Eng beieinander liegende Br\u00fcche f\u00fchren zur Erkenntnis, dass eine blosse Sch\u00e4tzung m\u00f6glicherweise nicht mehr ausreicht und deshalb formellere Methoden zur Vergleichbarkeit von Br\u00fcchen ben\u00f6tigt werden.<\/p>\n Bevor darauf n\u00e4her eingegangen wird, soll aber auch noch die Darstellung von Br\u00fcchen als Verh\u00e4ltnis (Proportion) erw\u00e4hnt werden. Oftmals ist es den Lernenden \u00fcberhaupt nicht bewusst, dass Br\u00fcche, Prozentzahlen und Proportionen auf dem Konzept der rationalen Zahlen aufbauen und insbesondere die Proportion sich auch im Steigungsbegriff direkt wiederfindet.<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/NVeyPfYy<\/a><\/p>\n Durch die grafische Darstellung und das Verschieben und Drehen der einzelnen Elemente wird der Zusammenhang zwischen Verh\u00e4ltnis (Bruch) und Steigung (mit Steigungsdreieck) unmittelbar ersichtlich. Die Visualisierung muss nicht zwingend im Thema „Bruchrechnen“ eingesetzt werden, kann aber sp\u00e4ter (insbesondere bei der Steigung) zum Ankn\u00fcpfen an vorhandenes Vorwissen eingesetzt werden.<\/p>\n Auch der Zusammenhang zwischen Br\u00fcchen und dem Prozentbegriff ist vielen Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern nicht unmittelbar klar. Hier kann es helfen, wen zwei Strecken miteinander verglichen werden und die eine als Bruchteil der anderen dargestellt wird. In Kombination mit einem virtuellen Prozentgummiband kann nun der Vergleich zwischen Bruch und entsprechendem Prozentwert visuell erfasst werden.<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/NVeyPfYy<\/a><\/p>\n Diese Aktivit\u00e4t kann unter entsprechenden Anleitung auch dazu genutzt werden, den Vergleich von Br\u00fcchen durch K\u00fcrzen und Erweitern vorzubereiten, indem man beispielsweise die Lernenden nach weiteren Streckenpaaren suchen l\u00e4sst, welche einen bestimmten Prozentwert aufweisen. Auch hier gilt selbstverst\u00e4ndlich: Die Visualisierung sollte immer nur so lange als n\u00f6tig eingesetzt werden, da das Ziel die Entwicklung des Zahlbegriffs von Br\u00fcchen ist. Da bei vielen Lernenden eine solche Vorstellung erst teilweise ausgepr\u00e4gt ist, lohnt es sich auch hier, zu gezielten Experimenten anzuregen. Mit zunehmenden Masse dient die Visualisierung dann nur noch der \u00dcberpr\u00fcfung der immer sicheren Vermutungen der Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler.<\/p>\n Additon und Subtraktion von Br\u00fcchen<\/strong><\/p>\n Haben die Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler eine Vorstellung von Br\u00fcchen entwickelt, k\u00f6nnen diese in einem n\u00e4chsten Schritt addiert und sp\u00e4ter auch subtrahiert werden. Dabei ist unbedingt darauf zu achten, dass die Lernenden sich dar\u00fcber im Klaren sind: Die zu addierenden oder subtrahierenden Bruchst\u00fccke m\u00fcssen immer gleich gross ein. Deshalb ist die Erarbeitung des Erweiterns und K\u00fcrzens von Br\u00fcchen eine Grundlage f\u00fcr Anwendung der Strichoperationen.<\/p>\n Das Erweitern und K\u00fcrzen von Br\u00fcchen mit dem Ziel, diese gleichnamig zu machen, kann relativ einfach visualisiert werden, indem Einheitsquadrate entweder l\u00e4ngs oder quer (zus\u00e4tzlich) unterteilt werden:<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/Yf2XcAdt<\/a><\/p>\n Den Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern ist m\u00f6glicherweise nicht klar, dass eine der rot eingef\u00e4rbten Fl\u00e4chen im linken Quadrat gleich gross sein muss wie eine der entsprechend eingef\u00e4rbten Fl\u00e4chen im rechten Quadrat. Deshalb lohnt es sich, diesen Umstand sorgf\u00e4ltig herauszuarbeiten.<\/p>\n Die eigentliche Visualisierung der Addition von Br\u00fcchen kann dann wieder gut mithilfe der Tortendarstellung durchgef\u00fchrt werden.<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/MMBKzeeM<\/a><\/p>\n Haben die Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler das Konzept der Addition verstanden, ist das Einschalten einer entsprechenden \u00dcbungsphase zwingend notwendig. Dabei kann es sich als hilfreich erweisen, wenn die ersten Rechenschritte durch weitere Visualisierungen unterst\u00fctzt werden. Das Tempo der Abl\u00f6sung von dem „Hantieren“ mit Tortenst\u00fccken hin zur rein formalen Berechnung mit gleichnamig gemachten Br\u00fcchen (Hauptnenner finden und Z\u00e4hler umrechnen) kann sehr individuell ausfallen. Sobald die Lernenden die entsprechende Sicherheit gewonnen haben, kann die Subtraktion in der Regel ohne weitere Visualisierungen problemlos eingef\u00fchrt werden.<\/p>\n Die einzige Schwierigkeit bei der Subtraktion stellt sich im Zusammenhang mit der Darstellung von negativen Br\u00fcchen. Den wenigsten Lernenden ist klar, dass die folgenden Darstellung gleichwertig sind: \\(-\\frac{a}{b}=\\frac{-a}{b}=\\frac{a}{-b}=-\\frac{-a}{-b}\\).<\/p>\n Eine weitere M\u00f6glichkeit, die Addition und Subtraktion von Br\u00fcchen einzu\u00fcben bietet die Bruch-Uhr:<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/fFeBVgYC<\/a><\/p>\n Mit der Umrechnung in Stunden und Minuten k\u00f6nnen an der Bruch-Uhr Zweitel, Drittel, Viertel … nachvollziehbar dargestellt werden. Gleichzeitig bietet die Bruch-Uhr eine Gelegenheit, zum Berechnen von Bruchteilen von Massen \u00fcberzuleiten.<\/p>\n Multiplikation und Division<\/strong><\/p>\n Die Rechenregeln zur Multiplikation von Br\u00fcchen sind einfach und die Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler k\u00f6nnen diese mithilfe des folgenden Applets meist selbst herleiten:<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/JKCeDruf<\/a><\/p>\n Das Verschieben des einen Einheitsquadrates \u00fcber das andere veranschaulicht die Multiplikation von Br\u00fcchen. Da gleichzeitig die entsprechende Rechenoperation sichtbar ist, gelingt es den meisten Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fclern schon nach zwei bis drei Beispielen, die entsprechenden Regeln selbst zu formulieren.<\/p>\n Ein f\u00fcr einige Lernende erstaunlicher Umstand ist, dass das Resultat einer Multiplikation mit einem Bruch kleiner ist als die urspr\u00fcngliche Zahl. Es lohnt sich diesen Umstand zu thematisieren, da die Sch\u00fcler in der Primarschule die Erfahrung gemacht haben, dass eine Multiplikation immer zu einem „Mehrwert“ f\u00fchrt.<\/p>\n M\u00f6chte man auch Multiplikationen \u00fcber das Einheitsquadrat hinaus darstellen, muss die Zeichenfl\u00e4che entsprechend erweitert werden. Im folgenden Beispiel werden die beiden Br\u00fcche als rechtwinklig zueinanderstehende Pfeile, das Resultat wieder als Fl\u00e4che dargestellt:<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/ueZRxJNd<\/a><\/p>\n Nun ist es auch m\u00f6glich, Multiplikationen wie \\(\\)2\\cdot\\frac{1}{3}[\\latex] darzustellen. Die gleichzeitige Sichtbarkeit der Rechnung hilft auch hier, den Zusammenhang zwischen Darstellung und eigentlicher Rechnung zu verdeutlichen.<\/p>\n W\u00e4hrend die Multiplikation sehr schnell verstanden wird, sieht dies bei der Division anders aus. „Br\u00fcche dividiert man, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert“, dieser Merksatz beschreibt zwar das technische Vorgehen, dieses ist f\u00fcr viele Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler aber wenig einsichtig. Dementsprechend h\u00e4ufig sind auch Fehlmanipulationen beim Dividieren von Br\u00fcchen. Auch hier kann es sich deshalb lohnen, entsprechende Visualisierungen zu verwenden. Hierzu kann man auf die Darstellung von Br\u00fcchen auf den Zahlenstrahl zur\u00fcckgreifen und sich \u00fcberlegen, wie viele Male der eine Bruch im anderen Platz findet.<\/p>\n Applet:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/yF9TGPh7<\/a><\/p>\n Das Beispiel visualisiert, wie oft der kleinere Bruch im gr\u00f6sseren Platz findet. Abh\u00e4ngig vom mathematischen Abstraktionsverm\u00f6gen der Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler kann man diesen Vergleich vorg\u00e4ngig auch mithilfe von verschieden langen Papierstreifen durchf\u00fchren. Wie bei der Visualisierung ist dabei wesentlich, dass die Lernenden auf das bereits bekannte Verfahren des L\u00e4ngenvergleichs zur\u00fcckgreifen k\u00f6nnen, dass sie beispielsweise vom Doppelmeter her kennen. Unter Umst\u00e4nden lohnt es sich auch, mit Aufgabenstellungen zu beginnen, welche aufgehen und erst danach Aufgaben zu thematisieren, bei denen ein Rest in Form eines Bruches \u00fcbrigbleibt.<\/p>\n Fazit<\/strong><\/p>\n Die Verwendung von Visualisierungen kann dabei helfen, Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler eine Einsicht in den mathematischen Umgang mit Br\u00fcchen zu erlauben. Meist werden f\u00fcr entsprechende Demonstrationen oder angeleitete Versuche nur wenige Minuten gebraucht. Da dabei Fehlvorstellungen korrigiert und Regeln teilweise selbst\u00e4ndig erworben werden, wird eine solche Investition durch eine Verringerung der Fehlerzahl beim anschliessenden arithmetischen Umgang mit Br\u00fcchen mehr als kompensiert. GeoGebra bietet dazu Hand, die Visualisierungen technisch umzusetzen, indem die Lehrperson diese selbst erstellt oder einfach auf einen bereits vorhandenen grossen Fundus zugreift.<\/p>\n Weiterf\u00fchrende Hinweise<\/strong><\/p>\n Friday Institute: Fraction Foundations – Helping Students Understand Fractions<\/a> GeoGebra: Applets zum Bruchrechnen<\/a> IES Practice Guide (2010). Developing Effective Fractions Instruction for Kindergarten Through 8th Grade: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, PDF<\/a> [abgerufen 2.9.2018]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Das Rechnen mit Br\u00fcchen ist f\u00fcr viele Sch\u00fclerinnen und Sch\u00fcler eine Herausforderung, weil gleichzeitig neue Konzepte vermittelt werden, welche der Intuition der Lernenden teilweise widersprechen, und der automatisierte Umgang mit verschiedenen Rechengrundoperationen zentral ist. (Schwierigkeiten mit den Grundoperationen k\u00f6nnen zu einer \u00dcberlastung des Arbeitsged\u00e4chtnisses f\u00fchren, welche ein erfolgreiches Erlernen zentraler Strategien im Umgang mit Br\u00fcchen … <\/p>\n![\"Tortendarstellung\"](\"https:\/\/gigers.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/Tortendarstellung.png\")
![\"Br\u00fcche](\"https:\/\/gigers.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/bruch_zahlenstrahl-1024x312.png\")
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\nDie Teilnahme an diesem Kurs in englischer Sprache f\u00fchrte nicht nur zu vielen interessanten Diskussionen, sondern hat auch zur Erweiterung der eigenen Sammlung an Applets f\u00fcr das Bruchrechnen beigetragen.<\/p>\n
\nGeoGebra bietete eine Vielzahl von Applets zum Thema Bruchrechnen, die zur Demonstration im angeleiteten Unterricht oder bei der individuellen Arbeit verwendet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n